Resulta que entre la multitud de nuevas opciones de Gmail hay una que impide a algunos dispositivos conectarse a la cuenta de correo electrónico. Dispositivos o aplicaciones.
Hay que activar el acceso a aplicaciones, dispositivos menos seguros para poder acceder a la cuenta de correo electrónico desde una aplicación como Thunderbird que no se ha actualizado o para acceder desde el movil si tampoco nos deja acceder cuando hemos comprobado via web que la contraseña es correcta. Para ello desde el navegador del ordenador accedemos a nuestra cuenta (y si hace tiempo que no accedíamos, aceptamos las nuevas condiciones y políticas de seguridad) y luego nos dirigimos a: https://www.google.com/settings/security/lesssecureapps
Esta dirección web viene en uno de los múltiples correos electrónicos que envía Gmail indicando que se ha bloqueado un acceso al buzón de correo...
La otra solución es tener actualizada nuestra aplicación :-p
La opción de permitir acceso a aplicaciones menos seguras esta también entre las opciones de Mi Cuenta:
https://myaccount.google.com/
-> Inicio de Sesión y Seguridad: https://myaccount.google.com/security
-> Hay que desplazarse hacia abajo con la barra lateral de la derecha, casi al final:
